BAB V ANALISIS REGRESI SEDERHANA

BAB V

ANALISI REGRESI SEDERHANA

 

5.1 Hubungan Stokastik dan Nir-stokastik

            Hubungan antara X dab Y yang terbentuk y=f(x) dikatakan ‘deterministik” (pasti) atau ‘nir-stokastik , jika suatu nilai variabel bebas (X) terdapat suatu nilai variabel terikat (Y) . Suatu hubungan antara X dan Y dikatakan ‘sytokastik’ jika suatu nilai X tertentu terdapat distribusi probalitas meneyluruh dari nilai Y. Dengan demikian, dalam kasus stokastik ini, setiap nilai X tertentu variabel terikat y dapat memilki beberapa nilai dengan probalitas yang tertentu .

Contoh : permintaan akan sutau barang tertentu, diasumsikan tergantung pada harga barang itu saja (faktor penentu lainnya dianggapo kosntan , atau cateris paribus ) dan bentuk funsginya adalah linier

                        Q = f(p) = α +βp

Dengan data p dan q tertentu misalnya diperoleh α = 25 dan β=-2 sehingga persamaaan permintaan itu menjadi .

                        Q = 25 – 2p

Hubungan antara p dan q di atas menunjukkan setiapp nilai p tertentu , misalnya 2 satuan hanya ada satu nilai q , yaitu = 21 satuan . jika harga p adalah  5 satuan, maka jumlah barang yang diminta menjadi 15 satuan dan seterusnya .

            Hubungan diatas disebut hubungan ‘deterministrik’ , karena setiap harga barang hanya ada satu jumlah  barang yang diminta atau dijual.

            Q = 25 -2p + U

Hubungan q = 25 -2p =U adalah hubungan stokastik karena terdapat variabel gangguan (U). Dalam hubungan stokastik , nilai variabel bebas (p) yang berebda-beda menimbulkan distribusi probalitas p=1 diperoleh distribusi probalitas I dari nilai-nilai q dengan rerta= 24 dan varian= 0,5. Jikan p = 2, diperoleh distribusi probabilitas bariabel terikat berbeda menurut reratanya, tetatapi buikan variannya.

5.2 Model Regresi Linier Sederhana

Hubungan atau persamaan dalam teori ekonomi biasanya mempunyai spesifikasi hubunga yang pasti  atau hubungan deterministik diantara variabel-variabel. Mengingat bahwa hubungan yang pasti tidak pernah ada dalam ekonomi maka faktor-faktor stokastik harus ada dalam hubungan ekonomi. Dengan semakin banyaknya tuntutan akan perlunya menguji teori-teori ekonomi, variabel stokastik juga perlu diuji keberadaannya didalam hubungan ekonomi.

Bentuk paling sederhana dari hubungan stokastik antara dua variabel X dan Y disebut “model regresi linier”

Yi = α + βXi + Ui                                                         (i= 1 , … , n)

Y disebut variabel terikat , X adalah variabel bebas atau variabel penjelas , U adalah variabel gangguan stokastik , α, β adalah parameter – parameter regresi . Subskrip I menunjukkan pengamatan yang ke-i. Parameter α dan β ditaksir atas dasar data yang tersedia untuk variabel x dan y.

Alasan penyisipan faktor U tersebut :

1.      Karenakesalahandalampersamaan

2.      Karenakesalahandalampengukuran

3.      Karenaketidaksempurnaanspesifikasibentukmatematis model

4.      Karena agregasi

Untuk sebuah model regresi linier sederhana , spesifikasi ini dikelompokkan menjadi lisa asumsi dasar , biasanya dikenal sebagai “asumsi-asumsi model regresi linier”

1.      Asumsi1 .Uiadalahsebuahvariabel random riildanmemilkidistribusi normal

2.      Asumsi 2 nilaireratadariUisetiapperiodetertentuadalahnol

E[Ui] = 0                                                          (i=1, …. n)

3.      Asumsi 3 variandariUiadalahkonstansetiapperiode

E[Ui2] = 2                                                     2 adalah konstan

4.      Asumsi 4 faktordarigangguanpengamatan yang berebda-beda (Ui , Uj) tidaktergantung

E[Ui,Uj]=0                                                         (i≠J)

Asumsiinidikenalsebagaiasumsi ‘nir-otokorelasi’

5.      Variabel-variabelpenjelas/bebasadalahvariabelnir-stokastikdandiukurtanpakesalahn ;Uitidaktergantungpadavariabelpenjelas/bebas.

E[Xi,Uj]= Xi E[Uj] = 0                                         untukseluruhI,j =1 ,….,n.

5.3               PenaksiranParameter-parameter Regresi

Yang dimaksudkan penaksiran α dan β dengan metode kusrat terkecil atau kuadrat terkecil klasik adalah menemukan nilai-nilai taksiran α dan β yang meminumkan jumlah kuadrat residu : Σie2

Dari garis regresi sampel Y= α + βXi + ei ; diperolah :

      ei = Yi (α + βXi)

dan

             =

Nilai-nilai α dan β yang bmeminumkan jumlah kuadrat, diperoleh dengan menurunkan secara parsial fungsi kuadrat residual  dan menyamakan turunan ini dengan nol .

Maka :

            β=

5.4. Sifat-sifat Penaksir Kuadar Terkecil

(a). Linear (Linearity)

                   

                                                                                                      (dari 5.5)

Atau :

                    karena                           

Sehingga :

Anggaplah bahwa :

                                                                                                                      (i=1,---,n)

Maka :

                                                       (dari 5.6)

Begitu  juga dengan (5.3) yang memberikan :

Sehingga :

                                                                                                  (dari 5.7)

Jadi baik  merupakan fungsi linier dari Y.

(b). Unbiasedness

                                                                                                                (dari 5.6)

     

          =∑ki(α+βXi+Ui)                                               

          =α∑ki+β∑kiXi+∑kiUi                                                                                        (5.8)                                     

                                                                                (5.9)              

                                                        

                                                                                                  (5.10)

                                                                                               (5.11)

(c). Varian Minimum dari        dan 

            Sekarang harus dibuktikan       dan      memiliki varian sampel terkecil dibandingkan denganbpenaksir-penaksir linier tidak bias lainnya.

Maka 

                                                                                              (5.12)

                                                                           (5.13)

Untuk membuktikan bahwa      memiliki varian minimum , perlu dibandingkan varian    dengan varian beberapa penaksir β  ( katakan lah      ) yang tidak bias.

Misalkan :  dimana konstanta Wi ≠  Ki , tetapi  Wi=Ki+ Ci

Sehingga :

            = ∑wi(α+βXi+Ui)

= α∑wi+β∑wiXi+∑wiUi                                                                                              (5.14)       

Karena diasumsikan penaksir yang tidak bias, berarti pada persamaan diatas cwi=0 dan ∑wiXi=1

Jadi telah ditunjukkan , jika  merupakan penaksir yang tidak bias, hasil hasil berikut berlaku:

∑wi=0, ∑wiXi=1, ∑ci=0, ∑ciXi=0                                                                               (5.15)

Varian dari  yang diasumsikan menjadi:

                                                                                                                 (5.14)

Sedangkan:

           

Pentingnya Sifat BLU :

(a). Linier.Sifat ini dibutuhkan untuk memudahkan perhitungan dalam penaksiran .

(b). Unbiasedness : Secara sendirian sifat ini tidak berguna. Satu-satunya jaminan dari sifat ini adalah bila jumlah sampel sangat besar, penaksir parameter diperoleh dari sampel besar kira-kira lenih mendekati nilai parameter sebenarnya .

(c). Best : Sifat varian terkecil secara sendirian tidak dibutuhkan, karena suatu taksiran memiliki varian nol , namun memiliki penyimpangan yang besar. Sifat varian minimum yang dibutuhkan , bila dikombinasikan dengan sifat tidak bias . Pentingnya sifat ini kelohatan bila di terapkan dalam uji signifikansi baku ( standar ) terhadap α dan β, serta membuat interval keyakinan taksiran-taksiran.

Penaksir linier kuadrat terkecil yang memenuhi persyaratan seluruh asumsi klasik dinamakan penaksir yang BLUE (Best Linier Unbiased Estimator). Kesimpulan ini merupakan teorema Gauss – Markov.

5.5 Penaksir Maksimum Likelihood

            Ada dua hal penting yang diaamati dari hasil penurunan (derivasi) sub bab 5.3 dan 5.4 yaitu :

a.       Untuk membuktikan sifat BLU penaksir kuadrat terkecil, tidak asumsi klasik dipergunakan. Misalnya, untuk membuktikan sifat linierritas diperlukan asusmsi kovarian antara faktor gangguan dan variabel bebas E[XiUj]=0

b.      Untuk membuktikan sifat-sifat BLU tidak perlu dibuat asumsi bentuk spesifik dari distribusi faktor-faktor gangguan. Kenyataannya asumsi normalitas dari U tidak diperlukan untuk membuktikan  dan  sebagai BLUE.

5.6 Distribusi Sampel Penaksir Kuadrat Terkecil

Oleh karena penaksir-penaksir kuadrat terkecil merupakan kombinasi linier variabel-variabel normal Y1, Y2, Y3, …. Yn tidak saling tergantung maka  dan  makan dan juga berdistribusi normal, dengan sifat-sifat sebagai berikut :

i.                     dan adalah penaksir-penaksir yang tidak bias, yaitu rerata masing-masing sama dengan nilai α dan β yang sebenarnya.

ii.                  Varian dari setiap penaksir diketahui

5.7  Interval Keyakinan dan Uji Hipotesis

            Penyusutan interval keyakinan penting untuk memperoleh ketepatan  dan Untuk itu , semua informasi yang berhubungan dengan distribusi  dan sudah dibahas dalam hal ini :

  dan  

Dalam kasus maka:

, 

Sehingga:

,  

                                                                                                            (5.23)

Dengan cara yang sama , pengujian atas β dilakukan sebagai berikut:

,dan  

                                                                                                              (5.24)

5.8 Goodness of Fit

            Disini akan dibahas tentang garis regresi sebagai suatu keseluruhan dan diuji kebenaran letak taksirannya (goodness of fit). Dalam hal ini pertama ,  mengukur proporsi variasi variable terikat yang dijelaskan oleh variable-variabel bebasnya. Kedua,nilai  tergantung jumlah kuadrat factor residu.

5.9 Pelaporan Hasil-hasil Analisi Regresi

            Hasil-hasil analisis regresi dapat dilaporkan dalam bentuk (format) yang konvensional. Dalam praktek, koefesien-koefisien regresi bersama-sama dengan kesalahan standart nilai harus dilaporkan. Beberapa pakar ekonometrika sering menyertakan t-ratio dari koofisien taksiran sebagai pengganti kesalahan standart.

5.10 Aplikasi (Penerapan)

Contoh 1:

            Tentukan hasil-hasil regresi dari data 20 pasang pengamatan atas X dan Y.

            ∑Xi = 228, ∑Yi= 3121, ∑XiYi=38927, ∑X= 3204

Jawaban :

i.                    Penaksiran

∑Xi= 228 ; n=20 ; sehingga

∑Yi = 3121 ; n=20 ; sehingga

Dari (5.5), = 156,05 – (5,54) (11,40) = 92,95

Maka hasl taksiran regresi adalah :

              92,95 = 5,54 Xi

(ii). Penaksiran Varian

Var () ₌  ) dan Var  ) =

Oleh karena  tidak diketahui, maka dapat disubsitusikan  yang tidak bias bagi varian factor gangguan ke dalam persamaan diatas sehingga :

Var () ₌  ) dan Var  ) =

Dimana ,  =

            =

                =

Sehingga :

            Var  = 70,82 [  = 4,38

dan

            Var (

(iii) Penetapan interval Keyakinan

            Misalnya, ingin ditetapkan suatu interval keyakinan untuk pada tingkat probabilitas p = 0,95. Dengan kata lain, ingin diperolah nilai t yang membatasi 0,025 area di kedua sisi distribusi. Dengan derajat bebas = 18m, lihat baris ke-18 dan kolom dengan tanda ‘0,025’ pada table-t. Nilai oada koordinat adalah 2,101.

            Oleh karena itu , 95% interval keyakinan untuk  adalah :

92,95 – (2,101)(4,38)  (2,101)(4,38)

83,75  α

Dan : 5,54 – (2,101)(0,34)  β  5,54 +(2,101)(4,38)

            4,38  β

(iv). Pengujian Hipotesis

Diketahui Ho : β = 0

               Ho ≠ 0

Diatas telah ditentukan daerah penerimaan pada tingkat signifikansi 5% sebagai :

            - [SE() ≤  ≤ +  [SE()]

Atau :

                -≤  +

                 =  = 16,29 ;   (n=18) = 2,101

Oleh karena nilai 16,29 terletak diluar daerah penerimaan , maka hipotesis yang menyatakan tidak ada hubungan antara X dan Y, yakni Ho, ditolak.

Contoh :

Tabel berikut menyajikan produk nasional bruto (X) dan permintaan makanan (Y) diukur dalam satuan-satuan arbitrary. Data tersebut berasal dari sebuah Negara yang sedang berkembang, yang meliputi periode 10 tahun. Taksir fungsi perminataan akan makanan : Y = α+ βX + U

Ringkasan hasil analisi regresinya adalah :

= -3,32 + 0,2033 Xi                                                     = 0,76

SE (

t*               -1,35 4,98

            = 0,76 menunujukkan bahwa 76% variasi total pada Y dapat dijelaskan oleh variasi X. pada tingkat signifikansi 5% hanya yang berarti secara statistic, sedangkan  tidak signifikan.